Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia obliczane w tabeli

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń równy jest kwadratowi pierwszego wyrażenia plus podwojony iloczyn pierwszego i drugiego wyrażenia plus kwadrat drugiego wyrażenia (a+b)²=a²+2ab+b².

Do policzenia kwadratu sumy dwóch wyrażeń nie trzeba koniecznie stosować wzoru skróconego mnożenia. Wyrażenie (a+b)² można policzyć wymnażając nawiasy (a+b)(a+b) bo (a+b)²=(a+b)(a+b).  

Mnożenie nawiasów najlepiej policzyć za pomocą tabeli, gdzie rysujemy tabelę:

- w poziomie z odpowiednią ilością kolumn [tyle kolumn ile jest wyrazów w pierwszym nawiasie]; 

- w pionie z odpowiednią ilością wierszy [tyle wierszy ile jest wyrazów w drugim nawiasie]. 

Nie ma znaczenia czy wyrazy z pierwszego nawiasu zapiszemy w pionie lub poziomie. Tak samo nie ma znaczenia czy wyrazy z drugiego nawiasu zapiszemy w pionie lub poziomie. Ustalmy jak powyżej. 

Do tabeli w odpowiednie kratki wpisujemy wyrazy wraz ze znakiem stojącym przed wyrażeniem. Następnie uzupełniamy kratki mnożąc odpowiednie wyrazy. Otrzymane wyrazy należy zsumować. Wtedy otrzymamy:

Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia minus podwojony iloczyn pierwszego i drugiego wyrażenia plus kwadrat drugiego wyrażenia (a-b)²=a²-2ab+b².

Iloczyn różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę równy jest różnicy kwadratów tych wyrażeń (a-b)(a+b)=a²-b².

Wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeń jest następujący: 

(a+b+c)²= a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc.

Do policzenia kwadratu sumy trzech wyrażeń nie trzeba koniecznie stosować wzoru skróconego mnożenia. 

Mnożenie można obliczyć za pomocą tabeli, gdzie rysujemy tabelę:

- w poziomie z odpowiednią ilością kolumn [tyle kolumn ile jest wyrazów w pierwszym nawiasie]; 

- w pionie z odpowiednią ilością wierszy [tyle wierszy ile jest wyrazów w drugim nawiasie]. 

Nie ma znaczenia czy wyrazy z pierwszego nawiasu zapiszemy w pionie lub poziomie. Tak samo nie ma znaczenia czy wyrazy z drugiego nawiasu zapiszemy w pionie lub poziomie. Ustalmy jak powyżej. 

Do tabeli w odpowiednie kratki wpisujemy wyrazy wraz ze znakiem stojącym przed wyrażeniem. Następnie uzupełniamy kratki mnożąc odpowiednie wyrazy. Otrzymane wyrazy należy zsumować. Wtedy otrzymamy:

Kwadrat sumy trzech wyrażeń (a+b+c)² można policzyć z kwadratu sumy dwóch wyrażeń stosując wzór skróconego mnożenia [(a+b)+c]² lub [a+(b+c)]², gdzie wyrażenia w nawiasie (...) traktujemy jako jedno wyrażenie. Trzy wyrażenia sprowadzić należy do dwóch wyrażeń. 
Kwadrat sumy trzech wyrażeń można obliczyć z wyprowadzonych poniżej wzorów skróconego mnożenia.

Wzory na kwadrat sumy/różnicy trzech wyrażeń. Kolorem czerwonym zaznaczono, który znak jest brany pod uwagę do wzoru skróconego mnożenia, a kolorem niebieskim i zielonym odpowiednio wyraz pierwszy i drugi podanego wyrażenia (a+b+c)². Stosujemy wtedy wzory skróconego mnożenia.

Wzory skróconego mnożenia jak sama nazwa wskazuje skracają nam mnożenie. Dlatego warto ich się nauczyć i stosować. Jednak już kwadrat trzech wyrażeń lub kwadrat czterech wyrażeń we wzorach skróconego mnożenia ma wiele składników. W tym celu tabela ułatwi policzenie w taki sam sposób jak ze wzoru skróconego mnożenia. Ponadto obliczając w tabeli nie można pominąć żadnego wyrazu.

W tabeli można także policzyć mnożenie nawiasów.

Post nr 499

Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą

Dla jakiego a równość jest prawdziwa?


Rozwiązanie:

Rozwiązać należy równanie kwadratowe z niewiadomą a. Jeśli równanie rozwiążemy I sposobem, to otrzymamy tylko jedno rozwiązanie bo trudno zauważyć, że istnieje drugie. Sposób I sprowadza się do przedstawienia rozwinięcia wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Jeśli równanie rozwiążemy II sposobem, to otrzymamy dwa rozwiązania.

Zatem równanie posiadam dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. 

Post nr 485

Układ równań trygonometrycznych

Rozwiązanie:
I sposób
- korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia
- korzystamy z wartości jedynki trygonometrycznej sin²α+cos²α=1
- z pierwszego układu wyznaczamy wartość wyrażenia 2sinαcosα
- obliczamy wartość układu równań (sinα+cosα)²=16/9

II sposób
- niech (sinα+cosα)² = x
- korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia
- korzystamy z wartości jedynki trygonometrycznej sin²α+cos²α=1
- do pierwszego układu równań dodajemy drugi układ równań
- doprowadzamy do najprostszej postaci i rozwiązujemy równanie liniowe pierwszego stopnia z jedną niewiadomą x

 Post nr 480

Wyrażenie pierwiastkowe

Wartość wyrażenia pierwiastkowego obliczana ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń

 

Wyznacz wartość x wyrażenia pierwiastkowego.


Wartość wyrażenia pierwiastkowego a możemy obliczyć korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń (a-b)(a+b)=a²-b² .

Rozwiązanie:
Obliczamy wartość x wyrażenia pierwiastkowego korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń i zamieniając iloczyn 2014·2016 = (2015-1)(2015+1) = 2015² -1². W sposób analogiczny postępujemy z pozostałymi przykładami, aż do obliczenia wartości wyrażenia x.

Dane wyrażenie możemy zapisać od początku w podany sposób.

Post nr 457

Wyrażenie pierwiastkowe

Wartość wyrażenia pierwiastkowego obliczana ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń

 

Wartość wyrażenia pierwiastkowego a możemy obliczyć korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń (x-y)(x+y)=x²-y² .

Postępując analogicznie, oblicz wartość wyrażenia b, c, d. 

Rozwiązanie:

Obliczamy wartość wyrażenia pierwiastkowego b w analogiczny sposób korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń:

 

Obliczamy wartość wyrażenia pierwiastkowego c w analogiczny sposób korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń:

Obliczamy wartość wyrażenia pierwiastkowego d w analogiczny sposób korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń:

Kalkulator - oblicz wartość wyrażenia

Post nr 449

Pierwiastek niewymierny a wielomian o współczynnikach całkowitych

Czy pierwiastek niewymierny może być czynnikiem wielomianu o współczynnikach całkowitych?

Znaleźć wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba niewymierna √2+√5. Wyznaczyć pozostałe pierwiastki wielomianu.

Rozwiązanie:

 

 

Post nr 244

Wzory skróconego mnożenia (…)^2

Wzory skróconego mnożenia (…)²

 

Rozwinięcie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat dowolnego wielomianu możemy wyprowadzić sprowadzając wielomian do postaci kwadratu z uzupełnionymi odpowiednio jednomianami w długości  i szerokości. Suma tych jednomianów jest rozwinięciem skróconego mnożenia.
Jaki wzór skróconego mnożenia otrzymamy z wielomianu (a+b+c+d+e)²=?

(a+b+c+d+e)²=(a+b+c+d)²+2ae+2be+2ce+2de+e²

 

Wzory skróconego mnożenia obliczane tabeli więcej

Post nr 105