Równanie z podwójną wartością bezwzględną

Równanie pierwiastkowe z jedną niewiadomą

Rozwiąż równanie pierwiastkowe w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:
W podanym zadaniu należy rozwiązać:
- równanie pierwiastkowe z wprowadzeniem zmiennej pomocniczej t
- równanie liniowe z podwójną wartością bezwzględną
- podwójną nierówność z wartością bezwzględną
- równanie liniowe z wartością bezwzględną
- nierówność liniową z wartością bezwzględną.

II sposób rozwiązania dla 20. 
Wiemy, że t≥0 dla x∈<-5/3, +∞). Zatem dla x∈(-5/3, +∞) moduł jest zawsze dodatni. Nierówność podwójną można rozwiązać w następujący sposób:

 Wykres online

Zobacz także jak rozwiązać równanie liniowe z czterema wartkościami bezwzględnymi w wartości bezwzględnej.

Post nr 488

Równanie z modułem

Równanie wymierne z wartością bezwzględną

 

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania równania z wartością bezwzględną w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:

- doprowadzamy równanie do prostszej postaci, które jest równorzędne do danego równania

- wyznaczamy dziedzinę D: x∈R\{-1}

- obliczamy miejsce zerowe modułu x= 1

- z definicji  wartości bezwzględnej mamy wartości, które należy podstawić do naszego równania w badanym przedziale
- rozwiązujemy równanie

- sprawdzamy rozwiązanie równianina z dziedziną i w badanym przedziale.

I sposób

II sposób

Wykres online

Post nr 458

Równanie pierwiastkowe

Równanie pierwiastkowe z pierwiastkami kwadratowymi

 

Wyznacz zbiór rozwiązań równania pierwiastkowego.

Rozwiązanie:

- wyznaczamy dziedzinę D: x≥1
- wyrażenie pod pierwiastkami sprowadzamy do kwadratu sumy lub kwadratu różnicy dwóch wyrażeń, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Należy pamiętać, żeby uwolnić się od symbolu pierwiastka kwadratowego, to lewą i prawą stronę równania podnosimy do kwadratu lub wyrażenie pod pierwiastkiem sprowadzamy do kwadratu sumy lub kwadratu różnicy dwóch wyrażeń
- sprowadzamy równanie do prostszej postaci uwalniając się od symbolu głównego pierwiastka, zatem równanie przyjmuje postać |√(x-1)-2| + ||√(x-1)-3| = 1
- wyznaczmy miejsca zerowe dla poszczególnych modułów |√(x-1)-2|=0 <=> x=5 i |√(x-1)-3|=0<=>x=10
- wyznaczamy rozwiązania równania w zależności od znaku modułu w otrzymanych dwóch przedziałach każdego modułu w sumie z określoną dziedziną
- suma rozwiązań z podanych przedziałów jest rozwiązaniem danego równania, zatem x∈<5, 10>.

 

 Wykres online



Post nr 450

Układ równań

Układ równań z okręgiem i prostą symetrycznymi względem osi OY

Wyznacz wszystkie możliwe rozwiązania układu równań.

Rozwiązanie:
Wyznaczamy wszystkie możliwe rozwiązania układu równań względem modułu w dwóch przedziałach (przedziały wyznacza miejsce zerowe modułu |x|). Miejscem zerowym modułu jest 0, zatem w przedziale xϵ(-∞, 0) moduł jest ujemny |x| = -x, w przedziale xϵ<0,+∞) moduł jest dodatni |x| = x.

Uwzględniając powyższe przedziały i znak modułu wyznaczamy rozwiązania układów równań. 

Ilustracja graficzna:
Ilustracją graficzną układu równań {(|x|-2)^² + (y-3)² = 4 są dwa okręgi, które powstają z następujących przekształceń względem dziedziny:
a)  Jeśli xϵ(-∞, 0), to okrąg o równaniu (x+2)²+(y-3)²=4 powstaje z translacji tj. przesunięcia równoległego okręgu o równaniu x² + y² = 4 o 2 jednostki w lewą stronę względem osi OX i 3 jednostki w górę względem osi OY
b)  Jeśli xϵ<0,+∞), to okrąg o równaniu (x-2)²+(y-3)²=4 powstaje z translacji tj. przesunięcia równoległego okręgu o równaniu x² + y² = 4 o 2 jednostki w prawą stronę względem osi OX i 3 jednostki w górę względem osi OY i jest symetryczny względem osi OY do okręgu o równaniu (x+2)²+(y-3)²=4.

Ilustracją graficzną układu równań {y = -|x|+3 są dwie proste, które powstają z następujących przekształceń względem dziedziny:
a)  Jeśli xϵ(-∞, 0), to prosta o równaniu y = x + 3 powstaje z translacji tj. przesunięcia równoległego prostej o równaniu y = x o 3 jednostki w górę względem osi OY
b)  Jeśli xϵ<0,+∞), to prosta o równaniu y = -x + 3 powstaje z translacji tj. przesunięcia równoległego prostej o równaniu y = -x o 3 jednostki w górę względem osi OY i jest symetryczna względem osi OY do wykresu y = x + 3.

Rozwiązaniem układu równań są te argumenty dla których wartości są równe, wykresy przecinają się w punkcie (x, y) i są rozwiązaniem układu równań.

 Wykres online

 

Post nr 379

Równanie z wartościami bezwzględnymi

Równanie z czterema wartościami bezwzględnymi w wartości bezwzględnej z jedną niewiadomą

Rozwiąż równanie z czterema wartościami bezwzględnymi w wartości bezwzględnej w zbiorze liczb rzeczywistych.

|3 + |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4|| = 17

Rozwiązanie:

Na podanym wykresie zaznaczono rozwiązania dla podanych wartości. Kiedy prawa strona równania jest odpowiednio równa {7, 9, 13, 17, 21, 24, 29}.

1.  |3 + |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4|| = 7   <=> x∈{-3, -2}
2.  |3 + |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4|| = 9   <=> x∈{-4, -1}
3.  |3 + |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4|| = 13  <=> x∈{-5, 0}
4.  |3 + |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4|| = 17  <=> x∈{-6, 1}
5.  |3 + |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4|| = 21  <=> x∈{-7, 2}
6.  |3 + |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4|| = 24  <=> x∈{-8, 3}
7.  |3 + |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4|| = 29  <=> x∈{-9, 4}

Sprawdź jak rozwiązać równanie pierwiastkowe, które jest równoważne równaniu z podwójną wartością bezwzględną i wprowadzeniem zmiennej pomocniczej t. 

Post nr 361