Tweety na temat @MinorMatematyka

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

 Snapchat: matematycznyswi

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-513

środa, 15 sierpnia 2018

Ludziki i koniki z kasztanów

Egzamin Ósmoklasisty WSiP z matematyki - przykładowe zadania





Uczniowie robili figurki z kasztanów. Do ich wykonania wykorzystywali po 4 kasztany na ludziki i po 2 kasztany na koniki. Zrobili o 7 więcej ludzików niż koników. Na zrobienie wszystkich figurek wykorzystali 82 kasztany. Ile ludzików, a ile koników zrobili uczniowie?

Rozwiązanie
I sposób
Jeśli uczniowie robili figurki z kasztanów, to zróbmy to też my.
Wiemy, że ludzików było o 7 więcej niż koników. 
a) Jeśli nikt z uczniów nie zrobił konika, to zrobili o 7 więcej ludzików czyli 0+7=7. Postępując tym sposobem rozwiązania musimy poszukać takiego rozwiązania, że na figurki wykorzystano 82 kasztany. Na 7 ludzików wykorzystano 28 kasztanów.
b) Jeśli jeden z uczniów zrobił konika, to zrobili o 7 więcej ludzików czyli 1+7=8. Wykorzystano wtedy 34 kasztany. Zwiększając tylko figurki o 1 konika i 1 ludzika, ilość wykorzystanych kasztanów zwiększa się o 6.
Poniższa animacja przedstawia kolejne możliwości, aż do uzyskania rozwiązania.





Wiemy, że uczniowie zrobili 16 ludzików i 9 koników. Na zrobienie figurek wykorzystali wtedy 82 kasztany.

II sposób
Zadania można rozwiązać także równaniem. Niech x - ilość figurek koników.
1. Analiza zadania
x - ilość figurek koników
x + 7 - ilość figurek ludzików
82 - tyle kasztanów wykorzystano na wszystkie figurki
2. Zapisanie równania
Na jednego konika wykorzystano 2 kasztany, a na jednego ludzika 4 kasztany.
Zatem równanie zapiszemy jako:
· x + 4 · (x + 7) = 82
3. Rozwiązanie równania
· x + 4 · (x + 7) = 82
2+ 4x + 28 = 82
6x = 82 - 28
6x = 54
x = 9
4. Sprawdzenie rozwiązania z analizą zadania
x = 9 - ilość figurek koników
x + 7 = 9 + 7 = 16 - ilość figurek ludzików
· 9 + 4 · 16 = 18 + 64 = 82 - tyle kasztanów wykorzystano na wszystkie figurki
5. Odpowiedź
Uczniowie zrobili z kasztanów 9 koników i 16 ludzików.


III sposób
Zadania można rozwiązać także równaniem. Niech x - ilość figurek ludzików.
1. Analiza zadania
x - ilość figurek ludzików
x - 7 - ilość figurek koników
82 - tyle kasztanów wykorzystano na wszystkie figurki
2. Zapisanie równania
Na jednego konika wykorzystano 2 kasztany, a na jednego ludzika 4 kasztany.
Zatem równanie zapiszemy jako:
· (x - 7) + 4 · x = 82
3. Rozwiązanie równania
· (x - 7) + 4 · x = 82
2- 14 + 4x = 82
6x = 82 + 14 
6x = 96
x = 16
4. Sprawdzenie rozwiązania z analizą zadania
x = 16 - ilość figurek ludzików
x - 7 = 16 - 7 = 9 - ilość figurek koników
· 9 + 4 · 16 = 18 + 64 = 82 - tyle kasztanów wykorzystano na wszystkie figurki
5. Odpowiedź
Uczniowie zrobili z kasztanów 9 koników i 16 ludzików.



Źródło: Próbny egzamin ósmoklasisty. Przygotowanie do egzaminu zewnętrznego z matematyki dla klasy 7 by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, kwiecień 2018 r.


Post nr 513

poniedziałek, 30 lipca 2018

W restauracji przed przyjęciem

W restauracji przed przyjęciem zestawiono stoliki


W restauracji przed przyjęciem część z 20 stolików 4-osobowych

W restauracji przed przyjęciem część z 20 stolików 4-osobowych zestawiono po dwa lub po trzy  w sposób pokazany na rysunku. Okazało się, że zostało 12 wolnych krzeseł.
Niech a oznacza liczbę stolików 4-osobowych po przemeblowaniu, b -  liczbę stolików 6-osobowych, c- liczbę stolików 8-osobowych.
Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Sytuację tę opisuje układ równań.

Rozwiązanie:
Z treści zadania wynika, że mamy 20 stolików 4-osobowych i w restauracji następuje przemeblowanie w określony sposób. 
Mamy do dyspozycji 20 stolików 4-osobowych i 80 krzeseł.
W restauracji przed przyjęciem część z 20 stolików 4-osobowych


Zrób przemeblowanie i zauważ co się będzie działo z ilością wolnych krzeseł jeśli zestawisz stoliki 4-osobowe w stoliki 6-osobowe lub 8-osobowe.

Weź 10 stolików 4-osobowych i ustaw je tak, żeby otrzymać stoliki 6-osobowe.


W restauracji przed przyjęciem część z 20 stolików 4-osobowych
Wniosek
Jeśli zestawisz dwa stoliki 4-osobowe i ustawisz jeden stolik 6-osobowy, to pozostaną wolne 2 krzesła za każdym razem.

Weź 15 stolików 4-osobowych i ustaw je tak, żeby otrzymać stoliki 8-osobowe.
W restauracji przed przyjęciem część z 20 stolików 4-osobowych
Wniosek
Jeśli zestawisz trzy stoliki 4-osobowe i ustawisz jeden stolik 8-osobowy, to pozostaną wolne 4 krzesła za każdym razem.

To teraz wiemy jak należy przemeblować salę tak, żeby za każdym razem zostało 12 wolnych krzeseł. W jaki sposób można tak zestawić stoliki 4-osobowe?
Mamy dwa wnioski:
a) Jeśli zestawisz dwa stoliki 4-osobowe i ustawisz jeden stolik 6-osobowy, to pozostaną wolne 2 krzesła za każdym razem.
b) Jeśli zestawisz trzy stoliki 4-osobowe i ustawisz jeden stolik 8-osobowy, to pozostaną wolne 4 krzesła za każdym razem.

Należy zapisać sumę 12 tylko za pomocą składników 2 i 4.
Zatem
I 2 + 2 + 2 + 2 + (2 + 2) = 12
Wtedy też robimy takie przemeblowanie, żeby ustawić 0 stolików 8-osobowych,  6 stolików 6-osobowych + pozostałe stoliki 4-osobowe (8 stolików).
W restauracji przed przyjęciem część z 20 stolików 4-osobowych


Podsumowanie I

Stoliki 8 osobowe
Stoliki 6 osobowe
Stoliki 4 osobowe
0
6
8
0
6 · 6 osobowe = 36 miejsc
8 · 4 osobowe = 32 miejsca

Razem miejsc
36 + 32 = 68 miejsc

Razem stolików
0 · 3 + 6 · 2 + 8 = 20 stolików


II 2 + 2 + (2 + 2) + 4 = 12
Wtedy też robimy takie przemeblowanie, żeby ustawić 1 stolik 8-osobowy,  4 stoliki 6-osobowe + pozostałe stoliki 4-osobowe (9 stolików).
W restauracji przed przyjęciem część z 20 stolików 4-osobowych


Podsumowanie II

Stoliki 8 osobowe
Stoliki 6 osobowe
Stoliki 4 osobowe
1
4
9
1 · 8 osobowe = 8 miejsc
4 · 6 osobowe = 24 miejsca
9 · 4 osobowe = 36 miejsc

Razem miejsc
8 + 24 + 36 = 68 miejsc

Razem stolików
1 · 3 + 4 · 2 + 9 = 20 stolików

III (2 + 2) + 44 = 12
Wtedy też robimy takie przemeblowanie, żeby ustawić 2 stoliki 8-osobowe,  2 stoliki 6-osobowe + pozostałe stoliki 4-osobowe (10 stolików).
W restauracji przed przyjęciem część z 20 stolików 4-osobowych

Podsumowanie III

Stoliki 8 osobowe
Stoliki 6 osobowe
Stoliki 4 osobowe
2
2
10
2 · 8 osobowe = 16 miejsc
2 · 6 osobowe = 12 miejsc
10 · 4 osobowe = 40 miejsc

Razem miejsc
16 + 12 + 40 = 68 miejsc

Razem stolików
2 · 3 + 2 · 2 + 10 = 20 stolików

IV 4 + 4 + 4 = 12
Wtedy też robimy takie przemeblowanie, żeby ustawić 3 stoliki 8-osobowe,  0 stolików 6-osobowych + pozostałe stoliki 4-osobowe (11 stolików).
W restauracji przed przyjęciem część z 20 stolików 4-osobowych
Podsumowanie IV
Stoliki 8 osobowe
Stoliki 6 osobowe
Stoliki 4 osobowe
3
0
11
3 · 8 osobowe = 24 miejsca
0
11 · 4 osobowe = 44 miejsca

Razem miejsc
24 + 0 + 44 = 68 miejsc

Razem stolików
3 · 3 + 0 · 2 + 11 = 20 stolików

Podsumowanie zadania:
Zadanie posiada 4 rozwiązania.

Ilość stolików 4, 6, 8-osobowych

Stoliki 8 osobowe
Stoliki 6 osobowe
Stoliki 4 osobowe
I
0
6
8
II
1
4
9
III
2
2
10
IV
3
0
11

Ilość miejsc siedzących przy stolikach 4, 6, 8-osobowych

Stoliki 8 osobowe
Stoliki 6 osobowe
Stoliki 4 osobowe
I
0
36
32
II
8
24
36
III
16
12
40
IV
24
0
44

Ilość stolików 4-osobowych, w każdym ustawieniu musi być 20 stolików

Stoliki 8 osobowe
Stoliki 6 osobowe
Stoliki 4 osobowe
I
0· 3 = 0
6 · 2 = 12
8
II
1 · 3 = 3
4 · 2 = 8
9
III
2 · 3 = 6
2 · 2 = 4
10
IV
3 · 3 = 9
· 2 = 0
11


Z powyższego podsumowania wynika, że odpowiedź A jest prawidłowa.
Układ możemy zapisać z dwóch układów:
a) ilość stolików
I      8· 6 + · 0 = 20
II     9· 4 + · 1 = 20
III 
10· 2 + · 2 = 20
IV   
11· 0 + · 3 = 20
Układ  a + 2b + 3c  = 20
a) ilość miejsc
I      4 · 8 + 6 · 6 + 0 · 8 = 68
II     4 · 9 + 4 · 6 + 1 · 8 = 68
III     4 · 10 + 2 · 6 + 2 · 8 = 68
IV     4 · 11 + 0 · 6 + 3 · 8 = 68
Układ  4a + 6b + 8c  = 68
gdzie:
a- liczba stolików 4-osobowych po przemeblowaniu
b- liczba stolików 6-osobowych po przemeblowaniu
c- liczba stolików 8-osobowych po przemeblowaniu.



Post nr 512

Regulamin bloga

Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

Blog wymaga wiele czasu pracy, godzin pracy, których nie widać i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć.
Niniejszy Regulamin określa zasady korzystania z bloga www.matematyczny-swiat.pl. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.



$1

Sprawy organizacyjne

1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


$2

Komentarze

14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.