Tweety na temat @MinorMatematyka

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

 Snapchat: matematycznyswi

czwartek, 4 sierpnia 2016

Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą







Dla jakiego a równość jest prawdziwa?


Rozwiązanie:
Rozwiązać należy równanie kwadratowe z niewiadomą a. Jeśli równanie rozwiążemy I sposobem, to otrzymamy tylko jedno rozwiązanie bo trudno zauważyć, że istnieje drugie. Sposób I sprowadza się do przedstawienia rozwinięcia wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Jeśli równanie rozwiążemy II sposobem, to otrzymamy dwa rozwiązania.
Zatem równanie posiadam dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. 











Post nr 485

czwartek, 5 maja 2016

Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Odpowiedzi do arkusza egzaminacyjnego maturalnego z matematyki, poziom podstawowy 5 maj 2016 r. 


Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.




Uwaga! Kopiujesz zdjęcia z bloga na portale społecznościowe, to musisz podać źródło z aktywnym linkiem do bloga. Nie zgadzam się na umieszczanie zdjęć bez podania adresu www bloga. 
Rozwiązania zadań z arkusza egzaminacyjnego maturalnego z matematyki, poziom podstawowy, Egzaminu przeprowadzonego w dn. 5.05.2016 r. przez Centralną Komisję Egzaminacyjną.



Zadanie 1
Dla każdej dodatniej liczby a iloraz a^(-2,6)/a^(1,3) jest równy
Zadanie 2
Liczba log_√2(2√2) jest równa
Zadanie 3
Liczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 48% liczby a oraz 32% liczby c. Wynika stąd, że
Zadanie 4
Równość (2√2-a)² = 17 -12√2 jest prawdziwa dla

Rozwiązanie zadania 4 (więcej)

Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Zadanie 5
Jedną z liczb, które spełniają nierówność −x⁵ + x³ − x < −2, jest
Zadanie 6
Proste o równaniach 2x −3y = 4 i 5x −6y = 7 przecinają się w punkcie P. Stąd wynika, że
Zadanie 7
Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa
Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Zadanie 8
Dana jest funkcja liniowa f(x)= (3/4)x+6. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba
Zadanie 9
Równanie wymierne [(3x-1)/(x+5)]=3, gdzie x ≠ −5
Zadanie 10
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby −2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
Zadanie 11
Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale <−1, 2> jest równa
Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Zadanie 12
Funkcja f określona jest wzorem f(x)=2x³/(x⁶+1) dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy f (−∛3) jest równa
Zadanie 13
W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału
Zadanie 14
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy
Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Zadanie 15
Ciąg (x, 2x + 3, 4x + 3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
Zadanie 16
Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość
Zadanie 17
Kąt α jest ostry i tgα= 2/3. Wtedy
Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Zadanie 18
Z odcinków o długościach: 5 , 2a +1, a −1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że
Zadanie 19
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu
o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek). Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe
Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Zadanie 20
Proste opisane równaniami y= [2/(m-1)]x+m-2 oraz y= mx+1/(m+1) są prostopadłe, gdy
Zadanie 21
W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a, 6) oraz B = (7,b) . Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3, 4) . Wynika stąd, że
Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Zadanie 22
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy
Zadanie 23
Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa
Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Zadanie 24
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek). Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze
Zadanie 25
Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, x, jest równa x/2. Mediana tych liczb jest równa
Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Zadanie 26
W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat. Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.
Zadanie 27
Rozwiąż nierówność 2x² − 4x > 3x² − 6x.
Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Zadanie 28
Rozwiąż równanie (4 − x)(x² + 2x −15) = 0.
Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Zadanie 29
Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |DEC|=|BGF| = 90° (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do
trójkąta FBG.
Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Zadanie 30
Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n= 2n² + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Zadanie 31
Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem R= log(A/A), gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A =10^(-4) cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od 100 cm.
Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Zadanie 32
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50° . Oblicz kąty tego trójkąta.
Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Zadanie 33
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC. Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.
Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.
Zadanie 34
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.





Przełącz się w nowe okno Pinterest i zobacz wszystkie dostępne posty na blogu.
Wszystkie posty są połączone z blogiem, dlatego w szybki sposób można:
- wybrać zadanie (kliknij na pina w oknie Pinterest)
- sprawdzić rozwiązanie na blogu (kliknij odwiedź stronę jak otworzy się pin).



 Pinterest






Źródło: 
Zadania pobrano z arkusza egzaminacyjnego, matura z matematyki na poziomie podstawowym  w celu podania przykładowych odpowiedzi. Zadania opracowane przez CKE Warszawa. Egzamin przeprowadzono w terminie głównym wśród maturzystów w dn. 5.05.2016 r. 

Matura Sprawdź arkusze


 Post nr 484

czwartek, 21 kwietnia 2016

Losowanie kul z urny

Prawdopodobieństwo wylosowania kul z urny 


W urnie jest 6 kul niebieskich, m czarnych i n zielonych. Losujemy jedną kulę z tej urny. Wyznacz m i n, wiedząc, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest dwukrotnie mniejsze niż prawdopodobieństwo wylosowania kuli, która nie jest czarna, a prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej jest trzykrotnie mniejsze od prawdopodobieństwa wylosowania kuli, która nie jest niebieska.










W urnie jest 6 kul niebieskich, m czarnych i n zielonych. Losujemy jedną kulę z tej urny. Wyznacz m i n, wiedząc, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest dwukrotnie mniejsze niż prawdopodobieństwo wylosowania kuli, która nie jest czarna, a prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej jest trzykrotnie mniejsze od prawdopodobieństwa wylosowania kuli, która nie jest niebieska. 


W urnie jest 6 kul niebieskich, m czarnych i n zielonych. Losujemy jedną kulę z tej urny. Wyznacz m i n, wiedząc, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest dwukrotnie mniejsze niż prawdopodobieństwo wylosowania kuli, która nie jest czarna, a prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej jest trzykrotnie mniejsze od prawdopodobieństwa wylosowania kuli, która nie jest niebieska.


















W urnie jest 6 kul niebieskich, m czarnych i n zielonych. Losujemy jedną kulę z tej urny. Wyznacz m i n, wiedząc, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest dwukrotnie mniejsze niż prawdopodobieństwo wylosowania kuli, która nie jest czarna, a prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej jest trzykrotnie mniejsze od prawdopodobieństwa wylosowania kuli, która nie jest niebieska.
W urnie jest 6 kul niebieskich, m czarnych i n zielonych. Losujemy jedną kulę z tej urny. Wyznacz m i n, wiedząc, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest dwukrotnie mniejsze niż prawdopodobieństwo wylosowania kuli, która nie jest czarna, a prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej jest trzykrotnie mniejsze od prawdopodobieństwa wylosowania kuli, która nie jest niebieska.




Post nr 483

poniedziałek, 21 marca 2016

Stożki podobne

Skala podobieństwa stożków podobnych



Stożek o wysokości  4 i polu powierzchni 24∏  jest podobny do stożka o tworzącej 20. Oblicz objętość stożka.





Stożek o wysokości  4 i polu powierzchni 24∏  jest podobny do stożka o tworzącej 20. Oblicz objętość stożka. 


Rozwiązanie:
- wyznaczamy długość promienia stożka podobnego korzystając z równości kwadratu tworzącej w oparciu o Twierdzenie Pitagorasa i kwadratu tworzącej wyznaczonej z pola całkowitego stożka podobnego
- obliczamy długość tworzącej stożka podobnego
- wyznaczamy skalę k podobieństwa stożków k=1/4
- wyznaczamy kwadrat długości promienia stożka r₂² i długość wysokości 
H₂ stożka
- obliczamy objętość stożka. 

Stożek o wysokości  4 i polu powierzchni 24∏  jest podobny do stożka o tworzącej 20. Oblicz objętość stożka.










Stożek o wysokości  4 i polu powierzchni 24∏  jest podobny do stożka o tworzącej 20. Oblicz objętość stożka.
Stożek o wysokości  4 i polu powierzchni 24∏  jest podobny do stożka o tworzącej 20. Oblicz objętość stożka.



Post nr 482

Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

Blog wymaga wiele czasu pracy i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.

$1

Sprawy organizacyjne

1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


$2

Komentarze

14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.