Tweety na temat @MinorMatematyka

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

 Snapchat: matematycznyswi

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-500

sobota, 15 lipca 2017

Pole koła wpisanego w trójkąt

Pole koła wpisanego w trójkąt, w trapezie równoramiennym

Pole koła wpisanego w trójkąt w trapezie równoramiennym



Trapez równoramienny ABCD o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa AB trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne AC i BD trapezu przecinają się w punkcie P. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt ABP.

Źródło:
Arkusz maturalny z matematyki, CKE, 2 czerwiec 2017 r. Poziom rozszerzony. Zadanie 14. Nowa formuła.


I sposób
Rozwiązanie:
- obliczamy miary kątów wewnętrznych utworzonych trójkątów w trapezie równoramiennym i wyznaczamy zależne długości boków utworzonych trójkątów
- wyznaczamy skalę podobieństwa trójkątów ABP i CPD
- obliczamy PC z uwzględnieniem skali podobieństwa trójkątów ABP i CPD
- obliczamy długość boku AP trójkąta ABP
- obliczamy długość wysokości trójkąta ABP opuszczonej z wierzchołka P 
- obliczamy pole trójkąta ABP
- z obliczonego pola trójkąta ABP wyznaczamy długość promienia r koła wpisanego w trójkąt ABP
- obliczamy pole koła wpisanego w trójkąt ABP o promieniu długości r.


Pole koła wpisanego w trójkąt w trapezie równoramiennym







Pole koła wpisanego w trójkąt w trapezie równoramiennym
Pole koła wpisanego w trójkąt w trapezie równoramiennym

Pole koła wpisanego w trójkąt w trapezie równoramiennym














































































II sposób
Rozwiązanie:
- obliczamy miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC w trapezie równoramiennym
- należy zauważyć, że dwusieczna kąta BAC wyznaczyła nam kąt 15°=30°/2
- wyznaczamy długość promienia z tangensa kąta ostrego 
15°, tg 15° = 2-3
obliczamy pole koła wpisanego w trójkąt ABP o promieniu długości r.



Pole koła wpisanego w trójkąt w trapezie równoramiennym















Sprawdź jak policzyć pole trójkąta wzorem Herona


Post nr 500

środa, 12 lipca 2017

Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia obliczane w tabeli














Kwadrat sumy dwóch wyrażeń równy jest kwadratowi pierwszego wyrażenia plus podwojony iloczyn pierwszego i drugiego wyrażenia plus kwadrat drugiego wyrażenia (a+b)²=a²+2ab+b².
Do policzenia kwadratu sumy dwóch wyrażeń nie trzeba koniecznie stosować wzoru skróconego mnożenia. Wyrażenie (a+b)² można policzyć wymnażając nawiasy (a+b)(a+b) bo (a+b)²=(a+b)(a+b).  
Mnożenie nawiasów najlepiej policzyć za pomocą tabeli, gdzie rysujemy tabelę:
- w poziomie z odpowiednią ilością kolumn [tyle kolumn ile jest wyrazów w pierwszym nawiasie]; 
- w pionie z odpowiednią ilością wierszy [tyle wierszy ile jest wyrazów w drugim nawiasie]. 
Nie ma znaczenia czy wyrazy z pierwszego nawiasu zapiszemy w pionie lub poziomie. Tak samo nie ma znaczenia czy wyrazy z drugiego nawiasu zapiszemy w pionie lub poziomie. Ustalmy jak powyżej. 
Do tabeli w odpowiednie kratki wpisujemy wyrazy wraz ze znakiem stojącym przed wyrażeniem. Następnie uzupełniamy kratki mnożąc odpowiednie wyrazy. Otrzymane wyrazy należy zsumować. Wtedy otrzymamy:
Wzory skróconego mnożenia


Wzory skróconego mnożenia

























Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy kwadratowi pierwszego wyrażenia minus podwojony iloczyn pierwszego i drugiego wyrażenia plus kwadrat drugiego wyrażenia (a-b)²=a²-2ab+b².


Wzory skróconego mnożenia


















Iloczyn różnicy dwóch wyrażeń przez ich sumę równy jest różnicy kwadratów tych wyrażeń (a-b)(a+b)=a²-b².


Wzory skróconego mnożenia











Wzór na kwadrat sumy trzech wyrażeń jest następujący: 
(a+b+c)²= a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc.
Do policzenia kwadratu sumy trzech wyrażeń nie trzeba koniecznie stosować wzoru skróconego mnożenia. 
Mnożenie można obliczyć za pomocą tabeli, gdzie rysujemy tabelę:
- w poziomie z odpowiednią ilością kolumn [tyle kolumn ile jest wyrazów w pierwszym nawiasie]; 
- w pionie z odpowiednią ilością wierszy [tyle wierszy ile jest wyrazów w drugim nawiasie]. 
Nie ma znaczenia czy wyrazy z pierwszego nawiasu zapiszemy w pionie lub poziomie. Tak samo nie ma znaczenia czy wyrazy z drugiego nawiasu zapiszemy w pionie lub poziomie. Ustalmy jak powyżej. 
Do tabeli w odpowiednie kratki wpisujemy wyrazy wraz ze znakiem stojącym przed wyrażeniem. Następnie uzupełniamy kratki mnożąc odpowiednie wyrazy. Otrzymane wyrazy należy zsumować. Wtedy otrzymamy:

Wzory skróconego mnożenia






Kwadrat sumy trzech wyrażeń (a+b+c)² można policzyć z kwadratu sumy dwóch wyrażeń stosując wzór skróconego mnożenia [(a+b)+c]² lub [a+(b+c)]², gdzie wyrażenia w nawiasie (...) traktujemy jako jedno wyrażenie. Trzy wyrażenia sprowadzić należy do dwóch wyrażeń. 
Kwadrat sumy trzech wyrażeń można obliczyć z wyprowadzonych poniżej wzorów skróconego mnożenia.

Wzory skróconego mnożenia



Wzory skróconego mnożenia


Wzory skróconego mnożenia






Wzory na kwadrat sumy/różnicy trzech wyrażeń. Kolorem czerwonym zaznaczono, który znak jest brany pod uwagę do wzoru skróconego mnożenia, a kolorem niebieskim i zielonym odpowiednio wyraz pierwszy i drugi podanego wyrażenia (a+b+c)². Stosujemy wtedy wzory skróconego mnożenia.

Wzory skróconego mnożenia





Wzory skróconego mnożenia jak sama nazwa wskazuje skracają nam mnożenie. Dlatego warto ich się nauczyć i stosować. Jednak już kwadrat trzech wyrażeń lub kwadrat czterech wyrażeń we wzorach skróconego mnożenia ma wiele składników. W tym celu tabela ułatwi policzenie w taki sam sposób jak ze wzoru skróconego mnożenia. Ponadto obliczając w tabeli nie można pominąć żadnego wyrazu.

W tabeli można także policzyć mnożenie nawiasów.

Post nr 499

Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

Blog wymaga wiele czasu pracy i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.

$1

Sprawy organizacyjne

1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


$2

Komentarze

14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.