Równanie z podwójną wartością bezwzględną

Równanie pierwiastkowe z jedną niewiadomą

Rozwiąż równanie pierwiastkowe w zbiorze liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie:
W podanym zadaniu należy rozwiązać:
- równanie pierwiastkowe z wprowadzeniem zmiennej pomocniczej t
- równanie liniowe z podwójną wartością bezwzględną
- podwójną nierówność z wartością bezwzględną
- równanie liniowe z wartością bezwzględną
- nierówność liniową z wartością bezwzględną.

II sposób rozwiązania dla 20. 
Wiemy, że t≥0 dla x∈<-5/3, +∞). Zatem dla x∈(-5/3, +∞) moduł jest zawsze dodatni. Nierówność podwójną można rozwiązać w następujący sposób:

 Wykres online

Zobacz także jak rozwiązać równanie liniowe z czterema wartkościami bezwzględnymi w wartości bezwzględnej.

Post nr 488

Podział przeciwprostokątnej względem wysokości w trójkącie

Trójkąt prostokątny, podobieństwo

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest 4 razy większa od drugiej. Wykaż, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątna dzieli ją na odcinki, z których jeden jest 16 razy większy od drugiego.

 
Post nr 487

Arkusz maturalny 2017 próbny z matematyki

Próbna matura z matematyki z Operonem 23.11.2016 r. Odpowiedzi do arkusza próbnej matury z Operonem, matematyka Matura 2017, poziom podstawowy

Matura 2017

Zadanie 1

Druga potęga liczby jest równa:

Zadanie 2

Wiadomo, że log_5(50)=a i log_5(2)=b. Zatem:

Zadanie 3

W listopadzie pensja pana Jana była o 10% większa niż w październiku. W grudniu pensja pana Jana zmalała i wynosiła o 40% mniej niż w październiku. Średnia arytmetyczna pensji pana Jana w październiku, listopadzie i grudniu była:

Zadanie 4

Zbiór rozwiązań nierówności (x-2)(2+x)<0 to:   Wykres online do zad. 4 

Zadanie 5

Równanie:

Zadanie 6

Liczba a spełniająca warunek jest równa:

Zadanie 7

Układ równań opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie dwie proste równoległe. Zatem liczba m jest równa:

Zadanie 8

Suma pierwiastków równania (x-2)(x+1)(x-3)=0 jest równa:

Zadanie 9

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Najmniejszą wartością funkcji g(x)= f(-x) w przedziale <-4,-1> jest liczba:

Zadanie 10

Dwusieczna kąta, pod którym przecinają się proste y=x-1 i y=-x+1, przechodzi przez punkt:

Zadanie 11

W tabeli podano wartości funkcji liniowej f(x)=ax+b dla wybranych trzech elementów należących do dziedziny funkcji.

Zadanie 12

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b dla b=-3 oraz ab<0. Wynika z tego, że funkcja f:

Zadanie 13

Dziedziną funkcji f określonej wzorem f(x)=(x-1)²+2 jest zbiór <-2,+∞). Zbiorem wartości tej funkcji jest:

Zadanie 14

Funkcja g jest opisana wzorem g(x)=3^(x-1) +1. Miejscem zerowym funkcji h(x)=g(x+1)-4 jest liczba:   Wykres online do zad. 14

Zadanie 15

Ile liczb całkowitych należy do zbioru rozwiązań nierówności:

Zadanie 16

Suma wszystkich liczb naturalnych dodatnich podzielnych przez 5 i mniejszych od 400 jest równa:

Zadanie 17

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla n≥1 i taki, że a₁+a₂+a₃=18. Wtedy:

Zadanie 18

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=√(n-2) dla n≥2. Ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od 2?

Zadanie 19

Ciąg (a, 2, c) jest geometryczny. Iloczyn wyrazów tego ciągu jest równy:

Zadanie 20

W trójkącie prostokątnym kąty ostre mają miary α, β, przeciwprostokątna ma długość 13, a sinα+sinβ=17/13, sinα-sinβ=7/13. Wynika z tego, że:

Zadanie 21

Kąt α  jest kątem ostrym takim, że sin²α -sin²β=1/2. Zatem:

Zadanie 22

Punkty G i H są środkami okręgów. Punkt E leży na okręgu o środku w punkcie G, punkt F leży na okręgu o środku w punkcie H oraz GH=3 i EF=8 (patrz rysunek). Wtedy pole koła ograniczonego okręgiem o środku w punkcie H jest większe od pola koła ograniczonego okręgiem o środku w punkcie G o:

Zadanie 23
Przekątna AC dzieli trapez ABCD na dwa trójkąty prostokątne równoramienne oraz |∡BAD|=|∡ADC|=90°. Najkrótszy bok trapezu ma długość a. Zatem najdłuższy bok ma długość:

Zadanie 24

Okrąg o promieniu 3 jest wpisany w trójkąt prostokątny. Punkt styczności dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości 5 i 12. Obwód tego trójkąta jest równy:
Sprawdź jak wyznaczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt i promień okręgu opisanego na trójkącie

Zadanie 25

Punkty A, M, B są współliniowe (punkt M leży między punktami A i B) i takie, że

A=(-23,-9), B=(17, 21) oraz |MB|=3|AM|. Iloczyn współrzędnych punktu M jest równy:

Zadanie 26
Rozwiąż nierówność x(x-1)>2(x+1)-4.

Zadanie 27

Wykaż, że jeżeli x>y i 2(x-1)(x+1)-2y(2x- y)=-1, to x-y=√2/2.

Zadanie 28

Dany jest półokrąg oparty na średnicy AB. Punkt C leży na półokręgu, punkt D leży na średnicy, odcinki CD i AB są prostopadłe oraz |CD|=√2. Punkt D dzieli średnicę na odcinki a,b (patrz rysunek). Wykaż, że ab=2.

Zadanie 29

Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe. Jednym z nich jest liczba -3. Wierzchołek paraboli, będącej wykresem tej funkcji, znajduje się w punkcie (-1,-8). Wyznacz wzór tej funkcji.

Zadanie 30

Prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych ma jeden punkt wspólny z parabolą y=(x-1)² +1. Znajdź równanie tej prostej. Wykres do zad. 30

Zadanie 31

Gdy Anka miała tyle lat, ile Danka ma teraz, to była od niej trzy razy starsza. Gdy Danka będzie miała tyle lat, ile Anka ma teraz, Anka będzie miała 42 lata. Ile lat ma obecnie każda z dziewcząt?

Zadanie 32

Kąt rozwarty rombu ma miarę 2α. Suma długości przekątnych rombu jest równa 68 oraz tgα =2,4. Oblicz obwód rombu.

Zadanie 33

Punkty A=(-4, 1) i C =(-5, 5) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Prosta -x-y=0 jest symetralną boku AB. Oblicz pole tego trójkąta.

Zadanie 34

Ciąg (x-3, x, y) jest ciągiem arytmetycznym. Ciąg (x, y, 2 y) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego oraz wyrazy ciągu geometrycznego.

Źródło: operon.pl
Zadania pobrano z arkusza próbnej matury z matematyki na poziomie podstawowym  w celu podania przykładowych odpowiedzi. Zadania opracowane przez Wydawnictwo Pedagogiczne Operon. Egzamin przeprowadzono 23.11.2016 r. 
Odpowiedzi Wydawnictwa Pedagogicznego Operon można sprawdzić na stronie arkusze.gieldamaturalna.pl

Matura maj 2016 
Technikum | Sprawdź odpowiedzi

Liceum       | Sprawdź odpowiedzi

Próbna matura z matematyki z Operonem 25.11.2015 r.

Post nr 486

Równanie kwadratowe

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą

Dla jakiego a równość jest prawdziwa?


Rozwiązanie:

Rozwiązać należy równanie kwadratowe z niewiadomą a. Jeśli równanie rozwiążemy I sposobem, to otrzymamy tylko jedno rozwiązanie bo trudno zauważyć, że istnieje drugie. Sposób I sprowadza się do przedstawienia rozwinięcia wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Jeśli równanie rozwiążemy II sposobem, to otrzymamy dwa rozwiązania.

Zatem równanie posiadam dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. 

Post nr 485

Arkusz maturalny 2016 z matematyki | Odpowiedzi, arkusz egzaminacyjny z matematyki 5 maj 2016 r.

Odpowiedzi do arkusza egzaminacyjnego maturalnego z matematyki, poziom podstawowy 5 maj 2016 r. 

Uwaga! Kopiujesz zdjęcia z bloga na portale społecznościowe, to musisz podać źródło z aktywnym linkiem do bloga. Nie zgadzam się na umieszczanie zdjęć bez podania adresu www bloga. 

Rozwiązania zadań z arkusza egzaminacyjnego maturalnego z matematyki, poziom podstawowy, Egzaminu przeprowadzonego w dn. 5.05.2016 r. przez Centralną Komisję Egzaminacyjną.

Zadanie 1
Dla każdej dodatniej liczby a iloraz a^(-2,6)/a^(1,3) jest równy

Zadanie 2
Liczba log_√2(2√2) jest równa

Zadanie 3
Liczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 48% liczby a oraz 32% liczby c. Wynika stąd, że
Zadanie 4
Równość (2√2-a)² = 17 -12√2 jest prawdziwa dla

Rozwiązanie zadania 4 (więcej)

Zadanie 5
Jedną z liczb, które spełniają nierówność −x⁵ + x³ − x < −2, jest

Zadanie 6

Proste o równaniach 2x −3y = 4 i 5x −6y = 7 przecinają się w punkcie P. Stąd wynika, że

Zadanie 7

Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa

Zadanie 8

Dana jest funkcja liniowa f(x)= (3/4)x+6. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

Zadanie 9

Równanie wymierne [(3x-1)/(x+5)]=3, gdzie x ≠ −5

Zadanie 10

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W = (1,9) . Liczby −2 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział

Zadanie 11

Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale <−1, 2> jest równa

Zadanie 12

Funkcja f określona jest wzorem f(x)=2x³/(x⁶+1) dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy f (−∛3) jest równa

Zadanie 13

W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31° (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu S od cięciwy AB jest liczbą z przedziału

Zadanie 14

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 15

Ciąg (x, 2x + 3, 4x + 3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 16

Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość

Zadanie 17

Kąt α jest ostry i tgα= 2/3. Wtedy

Zadanie 18

Z odcinków o długościach: 5 , 2a +1, a −1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

Zadanie 19

Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu
o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek). Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe

Zadanie 20

Proste opisane równaniami y= [2/(m-1)]x+m-2 oraz y= mx+1/(m+1) są prostopadłe, gdy

Zadanie 21

W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a, 6) oraz B = (7,b) . Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3, 4) . Wynika stąd, że

Zadanie 22

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy

Zadanie 23

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa

Zadanie 24

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek). Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt α o mierze

Zadanie 25

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, x, jest równa x/2. Mediana tych liczb jest równa

Zadanie 26

W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat. Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.

Zadanie 27

Rozwiąż nierówność 2x² − 4x > 3x² − 6x.

Zadanie 28

Rozwiąż równanie (4 − x)(x² + 2x −15) = 0.

Zadanie 29

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |∡DEC|=|∡BGF| = 90° (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do
trójkąta FBG.

Zadanie 30

Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n= 2n² + 2n dla n ≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Zadanie 31

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem R= log(A/A₀), gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A₀ =10^(-4) cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od 100 cm.

Zadanie 32

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50° . Oblicz kąty tego trójkąta.

Zadanie 33

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC. Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Zadanie 34

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Przełącz się w nowe okno Pinterest i zobacz wszystkie dostępne posty na blogu.
Wszystkie posty są połączone z blogiem, dlatego w szybki sposób można:
- wybrać zadanie (kliknij na pina w oknie Pinterest)
- sprawdzić rozwiązanie na blogu (kliknij odwiedź stronę jak otworzy się pin).

Źródło: 
Zadania pobrano z arkusza egzaminacyjnego, matura z matematyki na poziomie podstawowym  w celu podania przykładowych odpowiedzi. Zadania opracowane przez CKE Warszawa. Egzamin przeprowadzono w terminie głównym wśród maturzystów w dn. 5.05.2016 r. 

Matura | Sprawdź arkusze

 Post nr 484