Tweety na temat @MinorMatematyka

Nowość! Snapchat: matematycznyswi

 Snapchat: matematycznyswi

Szukaj na tym blogu lub wpisz post nr 1-504

sobota, 3 maja 2014

Promień okręgu wpisanego i opisanego na trapezie równoramiennym

Promień okręgu (koła) jednocześnie wpisanego i opisanego  w trapezie równoramiennym




Wyznaczyć długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego jednocześnie w trapezie równoramiennym ABCD wiedząc, że podstawa dolna trapezu AB ma długość a, podstawa górna CD trapezu ma długość b oraz kąt ostry tego trapezu ma miarę β.







Wyznaczyć długość promienia okręgu (koła) jednocześnie wpisanego i opisanego w trapezie równoramiennym ABCD wiedząc, że podstawa dolna trapezu AB ma długość a, podstawa górna CD trapezu ma długość b oraz kąt ostry tego trapezu ma miarę β. 

Wykazać, że wyprowadzony wzór na długość promienia okręgu (koła) jednocześnie wpisanego i opisanego  w trapezie równoramiennym w szczególnym przypadku zwraca wzór na długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego na tym kwadracie wiedząc, że a+b=2a. 

Rozwiązanie:

Znamy twierdzenie:


Twierdzenie I. Okrąg (koło) można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych kątów są równe  = 180o tzn.: |∡BAD| + |∡BCD| = |∡ABC| + |∡ADC| = 180o.
Twierdzenie II. Okrąg (koło) można wpisać w czworokąt wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwległych boków są sobie równe |AB| + |CD| = |AD| + |BC|.


- wyznaczamy długość odcinków |BC|=|BD| korzystając z twierdzenia II, oraz  długości odcinków |AE|, |EB| wiedząc, że podstawa dolna trapezu równoramiennego |AB|=a, podstawa górna |CD|=b
- długość promienia okręgu wpisanego w trapez równoramienny jest równa połowie długości wysokości DE tego trapezu r = |DE|/2
- korzystamy z twierdzenia sinusów wiedząc, że stosunek przekątnej trapezu do sinusa kąta leżącego naprzeciw tej przekątnej jest równy średnicy promienia okręgu (koła) opisanego na tym trójkącie |BD|/sinβ = 2R
- wyznaczmy wartość sinβ korzystając z trójkąta AED
- z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartym na tym samym łuku BD, wiemy, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku BD, zatem |∡BAD|=|∡BLG|=|∡DLG| bo |∡BLD| = 2 · |∡BAD|
- wyznaczmy długość promienia okręgu (koła) opisanego na trapezie równoramiennym podstawiając wartość wyznaczonego sinusa
- długość promienia okręgu (koła) opisanego na trapezie równoramiennym obliczamy ze wzoru:
iloraz iloczynu długości przekątnej razy długość ramienia trapezu przez podwojony iloczyn długości wysokości.
 


Wyznaczyć długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego jednocześnie w trapezie równoramiennym ABCD wiedząc, że podstawa dolna trapezu AB ma długość a, podstawa górna CD trapezu ma długość b oraz kąt ostry tego trapezu ma miarę β.




Wyznaczyć długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego jednocześnie w trapezie równoramiennym ABCD wiedząc, że podstawa dolna trapezu AB ma długość a, podstawa górna CD trapezu ma długość b oraz kąt ostry tego trapezu ma miarę β.

 
Wyznaczyć długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego jednocześnie w trapezie równoramiennym ABCD wiedząc, że podstawa dolna trapezu AB ma długość a, podstawa górna CD trapezu ma długość b oraz kąt ostry tego trapezu ma miarę β.


Wyznaczyć długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego jednocześnie w trapezie równoramiennym ABCD wiedząc, że podstawa dolna trapezu AB ma długość a, podstawa górna CD trapezu ma długość b oraz kąt ostry tego trapezu ma miarę β.
Wyznaczyć długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego jednocześnie w trapezie równoramiennym ABCD wiedząc, że podstawa dolna trapezu AB ma długość a, podstawa górna CD trapezu ma długość b oraz kąt ostry tego trapezu ma miarę β.





Wykażemy, że wyprowadzone wzory na długość promienia okręgu (koła) jednocześnie wpisanego i opisanego w trapezie równoramiennym w szczególnym przypadku zwracają wzór na długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego na tym kwadracie wiedząc, że a+b=2a. 

Wykazać, że wyprowadzony wzór na długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego jednocześnie w trapezie równoramiennym w szczególnym przypadku zwraca wzór na długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego na tym kwadracie wiedząc, że a=b.
Wykazać, że wyprowadzony wzór na długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego jednocześnie w trapezie równoramiennym w szczególnym przypadku zwraca wzór na długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego na tym kwadracie wiedząc, że a=b.


Wykazać, że wyprowadzony wzór na długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego jednocześnie w trapezie równoramiennym w szczególnym przypadku zwraca wzór na długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego na tym kwadracie wiedząc, że a=b.


Wykazać, że wyprowadzony wzór na długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego jednocześnie w trapezie równoramiennym w szczególnym przypadku zwraca wzór na długość promienia okręgu (koła) wpisanego i opisanego na tym kwadracie wiedząc, że a=b.

Post nr 417

Regulamin bloga

Czytelniku, miło kiedy komentujesz posty. Chętnie zapoznam się także z innym Twoim punktem widzenia w podanym rozwiązaniu zadania. Jednak, aby ten blog stanowił dla Czytelników pewną wartość, nie mogę pozwolić, żeby każdy mógł tu pisać co tylko chce.

Blog wymaga wiele czasu pracy, godzin pracy, których nie widać i jako jego autor chcę się na nim dobrze czuć.
Niniejszy Regulamin określa zasady korzystania z bloga www.matematyczny-swiat.pl. Korzystanie z bloga oznacza akceptację Regulaminu.



$1

Sprawy organizacyjne

1. Jeżeli uważasz, że w jakimś temacie czujesz się bardziej kompetentny, to napisz jak to wygląda z Twojego punktu widzenia.

2. Myśl zanim coś napiszesz – zanim zechcesz skrytykować moje sposoby rozwiązania zadań zastanów się jak możesz z tego skorzystać. Jeszcze raz – nie twierdzę, że wszystko co napiszę będzie dla Ciebie pomocne. Niemniej niektóre wskazówki po Twojej modyfikacji mogą dobrze Ci służyć. Myśl samodzielnie.

3. Ten blog to miejsce, w którym publikuję wskazówki, które mogą pomóc Czytelnikom zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać zadania matematyczne.

4. Dozwolone jest kopiowanie zdjęć z bloga na portale społecznościowe lub inne blogi z bezwzględnym podaniem aktywnego linka do bloga. Niedozwolone jest kopiowanie zdjęć i treści bez podania aktywnego linka.

5. Pamiętaj, żeby w ramach kopiowania zdjęć z bloga korzystać z przycisków udostępniania dostępnych w postach na blogu.

6. Zdjęcia w postach na blogu są mojego autorstwa i własnością intelektualną, a zdjęcia kopiowane na mój blog są zawsze z podaniem źródła.

7. Blog posiada jednego autora. Autorem bloga jest Robert Karolewski.

8. Zabrania się, przerabiania, przystosowywania, usuwania logotypu lub dokonywania jakichkolwiek innych zmian w zdjęciach na potrzeby własnej publikacji i przypisywanie im autorstwa. Dopuszczalne jest na własne potrzeby bez ich publikacji.

9. Wszystkie zdjęcia na blogu mojego autorstwa zawierają logotyp Minor Matematyczny Świat.
10. Przykłady w zadaniach prezentowane na blogu są przygotowane przeze mnie i moją własnością intelektualną. Na blogu również dostępne są przykładowe zadania z jakimi można spotkać się na różnym poziomie nauczania.
11. Rozwiązania wszystkich zadań z arkuszy maturalnych posiadają logotyp wobec tego, że są to moje przykładowe odpowiedzi.

12. Niniejszy regulamin obowiązuje również na wszystkich moich portalach społecznościowych.

13. Korzystanie z bloga w całości jest nieodpłatne i dostępne dla wszystkich Czytelników.


$2

Komentarze

14. Wszystkie komentarze na blogu są publikowane automatycznie i moderowane przez autora bloga.

a) Jeśli komentarze są obraźliwe zarówno w stosunku do mnie jak i do innych Czytelników, to zostaną usunięte lub ukryte.

b) Jeśli komentarze są niezwiązane z tematem wpisu, to zostaną usunięte lub ukryte.

c). Jeśli komentarze są spamem. Za spam uznaję linki do innych stron, podpisywanie się adresem www, dodawanie adresu strony pod komentarzem, reklama, to zostaną usunięte lub ukryte.


Osoby, które nie będą stosowały się do powyższych zasad $2 mają gwarancję, że ich komentarz pojawi się chwilę na blogu. W skrajnych przypadkach Twoje konto zostanie zablokowane.